锥面方程是解析几何中的一部分，在解题是用到的次数较多，在生活应用十分广泛，是工程中必不可少的组成部分，锥面方程更多的是来自对变量数学的需求，文艺复兴后欧洲进入了一个生产迅速发展的时代。机械的广泛使用，让人们开始对机械进行研究，机械是运动的，研究机械需要运动学知识和相应的数学理论，河道的修建，建筑的兴盛，提出了流体力学和固体力学的问题，这些问题的解决需要合理正确的数学计算，从此数学不在是静止的，在生活中人们要研究曲面，切面的问题，静态几何既不能把曲线看作是动点轨迹，更没有一般的表示方法，于是创造了变量数学，锥面方程也就在这种情况下问世，核心是通过代数方程来研究和表示曲线。
在引进坐标的基础上，把曲线所决定的两个坐标之间的关系用方程表示出来，通过对方程的研究来反映图形的性质，把几何问题翻译为代数方程，又通过对方程的研究来揭示图形的几何性质。所以圆锥方程是用代数方法解决立体几何问题。实现了数与形的统一。
理解锥面方程是非常必要的，因为它在生活中应用广泛，具有较强的使用价值，本文主要研究锥面方程的解法，通过对锥面方程的定义及性质的研究，来认识锥面方程，先讨论其常规解法，然后根据锥面方程的性质研究不同发解法，从而发现更简洁更准确的解题方法，以此来提高解题效率，减少解题时间。
一直线通过一定点P0且与一条定曲线C相交而移动时所产生的曲面叫做锥面。定点P0叫做锥面的顶点，定曲线C叫做锥面的准线，动直线叫做锥面的母线。
注：（1）锥面的准线不是唯一的，，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的准线.
（2）锥面的母线是不唯一的。
动直线经过一定点且保持与定曲线相交所产生的曲面。我们把定点称为锥面的顶点；定曲线称为锥面的准线；动直线称为锥面的直母线。当准线是圆时所得锥面称为圆锥面，如果顶点在过圆心且与圆所在平面垂直的直线上，所得的锥面称为正圆锥面，正圆锥面还可以看成是过定点直线L上一定点P且与该定直线保持定角（锐角）的动直线产生。一般的以平面上的椭圆，双曲线和抛物线为准线，平面外为为顶点的锥面，称为二次锥面。
设锥面的准线C的方程为
，（1）顶点P0的坐标为（x0,y0,z0),求出锥面的一般方程。
设P1（x1,y1,z1）是准线上的任一点，那么母线P0P1的方程为：
=
，
由此解得
， 由于P1
C,从而x1,y1,z1,满足（1），即
, (2) 这表示，锥面上的点的
坐标必满足（2），从（2）消去t，即得到锥面的一般方程。
（x,y,z）=0
例：求顶点在原点，准线为x2-2z+1=0,y-z+1=0的锥面方程。
解：设M为锥面上任意一点M（x,y,z）,过M与O的直线为：
=
=
设其与准线交于（x0,y0,z0）即存在t，使
X0=x*t,y0=y*t,z0=z*t将他们带入方程，并消去t得：x2-2z(z-y)+(z-y)2=0
即x2+y2-z2=0此为所要求的锥面方程。
例：设一锥面的顶点为坐标原点，准线是椭圆，
，求这锥面的方程
解：在准线上任取一点p1(x1,y1,z1)则
，母线OP1的方程为
，从以上四个方程消去x1,y1,z1,即得所求圆锥面方程，
.
这个锥面称为二次锥面，当a=b,时就是我们所说的圆锥面方程。
从这个例题我们可以猜测，以原点为顶点的锥面方程是关于x,y,z的齐次方程，下面我们来证实一下这个猜测的准确性。
正法以一：
设方程：
F（x,y,z）=0 ,表示以原点为顶点的锥面，在这个锥面上任取一点P（x1,y1,z1）,则F（x1,y1,z1）=0，且母线
证：设可微函数a=f(x,y,z)满足方程式OP1上的任何点都在这个锥面上，因为OP1的方程为
则有：
这表示F(x,y,z)=0是零次齐次方程。
反之，若F（x,y,z）=0是关于x,y,z的n次齐次方程，点P1
是这个方程所表示的曲面S上的任一点，（但不是原点），则
F(x1,y1,z1)=0 ,
要证S是锥面，只要证直线OP1上的任一点都在曲面S上，直线OP1的方程为
，
代入曲面方程的左边得
F（x,y,z）=F(x1t,y1t,z1t),=tn*F(x1,y1,z1)=0
上式对任意t都成立，从而
,因而S是由过原点的直线所构成，即它是一个以原点为顶点的锥面。
证法二：
设：可微函数a=F(x,y,z)满足方程
（１）,则该函数为n次齐次函数。
设锥面的准线的方程为
（２） ，其中F１，F２为可微函数
如果（２）中有一个为齐次方程，那么定理成立，如果（２）中方程都不是齐次方程，则F１（ｘ，ｙ，ｚ）不是齐次函数，由定理知，
（3），由于锥面的顶点为原点，所以准线上任一点p(x1,y1,z1)的母线方程为：x=x1b,ｙ＝y1b，z=z1b，b
（－
，＋
），母线上的点除原点外都满足
,
,
,因为P点在准线上，所以有，
，所以锥面上除顶点外，所有点（x,y,z）均满足方程，
（4）（5），消去参数b，使锥面上除顶点（0，0，0）外所有点满足方程Q（x,y,z）=0 （6）,下面我们来证明Q（x,y,z）=0一定为齐次函数，
设隐函数w=w(x,y,z).则有
F1（
）=0 （7）两边关于x求偏导，则
，
即 
（8）
同理得
（9）
（10）
(8)x+(9)y+(10)z得
，（11）
则有w(x,y,x)=
把w=w(x,y,z)代入（5）中得到
Q（x,y,z）=F2(
),
因此有
，（12）
，（13）
，（14）
(12)x+(13)y+(14)z得
可知，Q(x,y,z)必为零次齐次函数，即（6）为齐次方程，从而以坐标原点为顶点的锥面方程，一定是关于x,y,z的齐次方程。
我们可以推论，关于x-x0,y-y0,z-z0的齐次方程一定表示以（x0,y0,z0）为顶点的锥面。
证：坐标变换
，则
，表示以
（0，0，0）为顶点的锥面，因此
表示顶点在（x0,y0,z0)的锥面。
例：方程3xy-2xz+y*z+z2=0是关于x,y,z的三元二次齐次方程，所以他是以原点为顶点的二次锥面。
