1.1.1 参数法解锥面方程

设锥面方程的参数方程为

    ，  （）

顶点P₀的坐标为（x₀,y₀,z₀）,在准线上任取一点P₁（f(t₁),g(t₁),h(t₁))，则母线P₀P₁的参数方程为

         ，

其中s为参数，当P₁在准线C上移动时，母线P₀P₁的轨迹就是所求的锥面，所以锥面的参数方程为：

          ，

锥面方程的矢量形式是

 

 S： , 其中，，，

例：求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程

解：显然所求的圆锥面有四个，顶点都在原点，设圆锥的轴的方向为，因为三坐标轴为母线，则有：，其中为坐标向量，

所有有于是轴方向为

 当轴的方向为时，取准线为 于是，设P₁（x₁,y₁,z₁）是准线上一点，过P点的母线为，所以.

又因为P₁在准线上，

 ， 消去参数x₁,y₁,z₁,t得

x²+y²+z²=(x+y+z)²,即x*y+y*z+x*z=0.为所求的圆锥面方程，同理可求另外三个圆锥面方程：

 ，

例：试求准线为 ，顶点在A（0，0，5）点的锥面的方程。

 解：设P₀(x₀,y₀,z₀)是准线上一点

则 ，（1）

直线AP的方程为，（t是参数） （2）

将（2）式代入（1）式可得：

   

解出 ，将其代入，即得所求的锥面方程为

   

对于没有直接给出准线方程和顶点坐标的锥面，可以先求出他们的准线方程和顶点坐标，然后求出锥面方程。
 

解法三：

   准线是椭圆，他的参数方程是：

                   ，

     由公式所求出锥面参数方程为

      消去参数t,m得：

                      ，这就是所求的锥面方程。

例二：

   求顶点在原点，以椭圆 ，为准线的锥面方程 。

     解：设M（x₁,y₁,z₁）为准线上任一点，经过M的母线方程为，   

          且有  令 ，

           得

代入准线方程，提出t²,

得 ，又因为，所以

化简得 ，即为所求的锥面方程。

                                  

例三：

  求以P₀(x₀,y₀,z₀)为顶点，以椭圆 ，为准线的锥面方程。

   解法一：

      根据题意知，锥面上点的坐标满足

             

       消去t并化简可得锥面方程为

             

  解法二：

 准线椭圆可表示成参数方程形式

        ，

      于是根据参数方程形式下的锥面方程，得到所求锥面为

         ，

      消去可得到方程

         

例四：

  试求以曲线 ，为准线，顶点在坐标原点的锥面的方程。

解：设P₀(x₀,y₀,z₀）是准线上一点，则 （1），则

    直线OP₀的方程为 ，（t是参数）（2）

将（2）式代入（1）式得 ，

解出 ，代入，化简

得

 因此，所求锥面的方程为.

例五：

 若锥面的准线为 ，顶点在坐标原定，则此锥面方程是：

由此可见，以曲线 ，为准线，顶点在坐标原点的锥面方程是

 。

例六：

已知锥面S的顶点为原点O，准线为 ，试求锥面S的方程。

解：过准线上任意一点，P₁（x₁,y₁,z₁）的母线L的方程为，

 其中x₁,y₁,z₁满足 ，为了消去参数x₁,y₁,z₁，令

 ，由此得，将其代入得

    ，消去t 整理所得锥面S的方程为

1.1.1 锥面方程的巧妙求法

在空间几何中，已知锥面的准线方程为 ，顶点为P(x,y,z,),求解锥面方程的一般方法是在准线上任取一点，求出过这点的母线方程，最后所得一个方程F（x,y,z）=0，即为所求的锥面方程。

 例一：

  求顶点在原点，准线为 ，的锥面方程

  解：设M₁（x₁,y₁,z₁），为准线上一点，

则

     ，又因为过M的母线方程为

消去 x₁,y₁,z₁得即为所求的锥面方程。

这种常规解法在理论上来说是可行的，但是在遇到实际的问题时当准线方程为较复杂难解的高次方程时，需要从三个方程中消去三个未知数，会特别复杂繁琐，有的时候会出现根本无法解出的情况，，我们知道锥面方程有一个性质，顶点为P（m,n,i）的方程必是关于（x-m）,(y-n),(z-i)的一个齐次方程，，反之也成立，锥面方程与他准线方程的次数是一致的，利用锥面方程的这一性质，推理出一种巧妙的解题方法，来解决用常规方法不易解决的问题，这种方法是将方程变为含有（x-m）,(y-n),(z-i),的方程，在从所得准线方程中求得一个等于1的关系式，把这个关系式代入另一个方程，将其配成齐次方程，化简得到锥面方程。

例如，上边的例子顶点在原点，准线为 ，的锥面方程。

可以将准线写为 ，将此时式代入得齐次方程

  ，整理得锥面方程。

例：求顶点在（0，0，8）准线方程为 ，的锥面方程

  解：将锥面方程改写为 ，将其配成齐次方程 ，

  所以，化简得，整理得，即为所求锥面方程。
 

例:已知两相交直线L₁：x=y=z与L₂：，试求以直线L₁为轴，且通过直线L₂的圆锥面方程。

解：由题意知圆锥面的顶点为两直线的交点，下面我们求两直线的交点

  ，这个方程的解为x=0,y=0,z=0,所以此圆锥方程是以坐标原点为顶点，准线是L₂上一点绕L₁所形成的圆

其方程为，将准线改写为 ，将其代入得

，所以

整理得：为所求锥面方程。
 

例：求顶点在（3，-1，-2），准线方程为 ，的锥面方程

  解：将准线方程改写为 ，将其配成齐次方程为+ ，化简得：

最后整理得：

    为所求锥面方程。

 

此题若是采用常规解放将会相当繁琐，所以解决此类问题时要确定好题意，找到巧妙解放，会使我们做题的准确率大大提高，同时节省大量时间。
 

结论

锥面方程的重要性不仅体现在数学领域上，更重要的是在生活中的价值，锥面方程方便了人们的生活，提高了人们的生活质量。本文通过对锥面方程的，结构及性质的研究，对锥面方程有个深入的了解，然后去研究锥面方程的解法，从锥面方程的常规解法入手，对其齐次性进行研究，从而推导出锥面方程的巧妙解法，使复杂问题简单化，以此来提高解题效率，节省解题时间。