1 简述重要知识点

　　本文的重点在于探讨线性微分方程的拉普拉斯变换法与通常解法之间的优劣.

　　1.1 什么是常微分方程

　　微分方程就是联系着自变量、未知函数、及其导数的关系式. 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，那我们就称其为常微分方程;自变量的个数是两个及以上的微分方程就称偏微分方程.

　　1.2 什么是线性微分方程和非线性微分方程

若微分方程的左端是关于和的一次有理整式，则把它称为阶线性微分方程，反之称为非线性微分方程.

　　1.3 解和隐式解

若函数代入方程以后，可以变为恒等式，则称为该方程的解. 如果决定的函数是解，就称是方程的隐式解.

　　1.4 通解和特解

含有个独立的任意常数的解称为阶方程的通解. 有的时候它必须满足一定的条件，这就是定解条件，常见的定解条件有初值条件和边值条件.

　　1.5 拉普拉斯变换的定义

　　1.5.1 拉普拉斯变换法

拉普拉斯变换就是一种积分变换，即把微分方程转变为代数方程求解.可以理解为把时域问题通过数学变换转为复频域问题，也就是把时间函数与复变函数联系起来，把时间域的高阶微分方程转变为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作逆变换得到所求的时间函数.

　　1.5.2 拉普拉斯变换的定义

我们把在的函数的拉普拉斯变换式定义为

，

式中被称为复频率;为的象函数，是的原函数. 从到的变换称为拉普拉斯逆变换，它定义为

，

其中是正有限常数.

　　1.5.3 典型函数的拉氏变换

　　单位阶跃函数的象函数

　　2 常微分方程的一般解法和拉普拉斯变换法的比较

　　2.1 一阶线性微分方程的解法举例

对于一阶线性微分方程

　　解法一 变量分离法

第一步：求对应齐次方程的通解，得;

第二步：令原方程的解为 ;

　　第三步：带入原方程整理，得

;

第四步：写出原方程通解.

　　解法二 积分因子法

方程的一个积分因子是，将的两端都乘以,得方程，并将其改写为，对上式两端关于积分，再解所得的关于的方程.

　　解法三 用拉普拉斯变换法直接求出其解.

例1 求解方程

　　解 方法一 变量分离法

改写为微分形式为 ，积分得，两边取指数，得，显然解可表示为，由于微分方程中有出现，要求在求解过程中.这个限制等价于，因为 然而观察可见是原微分方程的解，因此对所有的是解.

　　方法二 积分因子法

用乘以微分方程(2.1.1)，得，积分得

　　方法三 利用拉普拉斯变换法求解

初始条件不确定，将原方程写成，然后对其两端作拉普拉变换得

，，作拉普拉斯逆变换有 .

　　2.2 二阶线性微分方程

例2 求解方程

　　解 方法一 待定系数法

这里，由待定系数法得，

则微分方程的通解 ， (2.2.1)

　　于是

　　(2.2.2)

对(2.2.1)利用第一个初始条件，得. (2.2.3)

对(2.2.2)利用第二个初始条件，得. (2.2.4)

联立(2.2.3)和(2.2.4)，解得将它们代入(2.2.1)，得

.

　　方法二 利用拉普拉斯变换法求解

对原方程作拉普拉斯变换得.

因为，它变为，则

，

　　最后作拉普拉斯逆变换，得

2.3 常系数线性微分方程组

例3 已知，求方程组的解.

　　解 方法一 基本解法

特征方程为，对应的特征向量分别为，于是，齐次方程的通解为.由常数变易法可知非齐次方程有如下形式的特解

，

其中满足 解得

，

　　积分得到

，

　　所以整理可得

.

　　因此，非齐次方程组的通解为

.

当时，有

　　故所求初值问题的解为

.

　　方法二 利用拉普拉斯变换法求解

令，方程两边作拉普拉斯变换得到

,

　　取逆变换得到

那么满足给定初值条件的解为.

2.4 阶常系数线性微分方程

要想解出阶常系数线性微分方程，首先要明确求解其初值问题的三种方法.

解法一 先求出原方程对应的齐次线性微分方程的基本解组，再利用常数变易法求非齐次线性微分方程的一个特解，从而得到非齐次线性微分方程的通解，最后代入初始条件，确定个任意常数 从而得到其初值解.

解法二 先求出原方程对应齐次线性微分方程的基本解组，再利用待定系数法求出非齐次线性微分方程的一个特解，从而得到非齐次线性微分方程的通解，最后代入初始条件，确定个任意常数，从而得到其初值解 .

　　解法三 直接利用拉普拉斯变换法，求出原方程的初值解.

例4 求解.

　　解 方法一 常数变易法

原方程的齐次微分方程为， (2.4.1)

其特征方程式为，由此求得特征根为,那么(2.4.1)的基本解组是,设原方程有特解，则

代入特解得原方程的通解是，再将其求导得到，因为，所以

即初值解为.

　　方法二 待定系数法

　　说明：求特征根的步骤同方法一，这里只写出不同的步骤.

由，可设原方程的特解，则有，代入原方程可解得，所以特解，通解. 然后同方法一求出其初值解是.

　　方法三 利用拉普拉斯变换法

查拉普拉斯变换表可知.

　　比较以上三种方法明显可以看出拉普拉斯变换法相对于通常解法更简便.

　　2.5 拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程中的应用

例5 重为128磅的重物悬于弹性系数是的弹簧之下.它从平衡位置上6英寸的位置开始无初速度的运动，并受到外力假设没有空气阻力，求物体的运动.

　　解 方法一

这里，由牛顿第二定律将其代入以下公式，得到

， (2.5.1)

　　这是一个受迫无阻尼运动的例子，相应的齐次微分方程的通解是

.

用待定系数法可求得其中一个特解为，所以(2.5.1)的通解是.

由于，所以.

　　方法二 这里主要探讨用拉普拉斯变换法求解微分方程的方法

对于方程(2.5.1)，令 对式子(2.5.1)作拉普拉斯变换，换为，得

查阅拉普拉斯变换表可知，替换了，

　　3 总结归纳

　　通过以上例题我们可以看到以下线性微分方程的解法：

　　(1)对于一般的常系数非齐次线性微分方程求特解时，我们通常用待定系数法和拉普拉斯变换法求其解.

　　(2)常数变易法多用于求解一般的非齐次线性微分方程的特解.

　　(3)在求解二阶齐次线性微分方程时我们还经常用到幂级数解法，这也是典型的解法，本文不做详述.

　　无论是以上哪一种解法，都各有优劣，不同的方法针对不同的题型. 拉普拉斯变换法比起其他解法虽然更简洁快速，但是也有其局限性，并非用它一定就好，所以我们要灵活运用各种方法，准确的解决问题才是根本. 并且，在当今信息化的时代，如果熟悉计算机软件的话，计算将会更加快捷简便.