2.2.2 建立方程组并求解

是由构成的函数空间，其中定义如下：

　　边界情况一样定义。

　　对于有限元方程、有限差分方程、广义差分方程，事实上我们可以通过

来求泊松方程数值解。

　　这样我们可以得到下面的数值方程：

有限元方程：

有限差分方程：

其中，

有限体积法方程：

其中，

　　接下来就是解方程组：

　　根据这三个方程就可以得到一组线性代数方程，从而能够得到三个矩阵：

　　其中：

有限元法，

有限差分法，

有限体积法

　　解这个矩阵就可以得到结果。接的结果通式如下：

对于有限元和有限差分区域剖分法是一样的，也是相同的：

其中，

有限体积法的区域部分和前两种方法不同，也是不相同的：

其中，

　　对于稳定性和误差估计：

稳定性可以使用：，

其中

误差估计使用：

　　3 泊松方程算法及实际数值案例

　　Matlab是专门用于矩阵数值计算的数学软件，随着市场化和功能化的推广而逐渐强大和普及。目前，Matlab程序已在数理化多个领域被广泛使用。

　　3.1 MATLAB程序的有限元法求解泊松方程

　　此次对于泊松方程数值解的研究过程中也要使用Matlab来解决数值计算问题。

　　有限元法基本原理及步骤：

　　有限元法是以变分原理和剖分技术为基础原理的一种数值计算的方法.它先以偏微分方程边值问题为起点,然后再找出一个能量泛函数的积分式,跟着把泛函离散化为多元函数,通过多元函数求出极值(在满足边界条件的前提下)的方法得到一个方程组,最后通过解方程组得到我们想要的数值解。

　　边值问题的有限元分析过程包括下列几个基本步骤：

　　1)根据微分方程的边界条件求出对应的定解问题的泛函数以及其等价的变分问题。

　　2)剖分出求解区域,确定相对应的插值问题。

　　3)对多元函数的泛函数求出极值,导出有限元方程组。

　　4)求解方程组,从而得到结点上的位函数。

　　3.2 数值试验案例

问题:在图1所示的矩形区域中,假设在AB上Φ=1,在CD上Φ=0.进一步假设:在AC和BD2条边上,满足齐次诺曼条件.解泊松方程：

　　(1)对图1所示的区域进行剖分.这里使用3结点三角单元,将区域分成了8个单元.剖分结果如图1所示,标出每个结点和单元,并写出了联系数组n(i,e),如表1所示

(2)加入边界条件,对泊松方程应用有限元法步骤,并加入齐次诺曼边界条件,可得单元矩阵和向量元素表达式,分别为。应用它们计算每一单元的单元矩阵和向量如下:

(3)扩展每个和.第1个扩展后的单元矩阵加到9×9阶零矩阵K上,得,第2个扩展后的单元矩阵加到得,……上,最后得到。

组合后的整体矩阵即为。

第1个扩展后的单元向量加到零向量,得,第2个扩展后的单元向量加到得,......,最后得到。

=(0.006 7 0.010 0 0.003 3 0.010 0 0.016 7 0.006 7 0.003 3 0.010 0 0.003 3 )。

组合后的整体向量即为。

　　(4)在AB和CD上,应用边界条件,得到的整体矩阵：

　　然后应用边界条件后可以得到向量：

(0 0.010 0 120.000 0 0.016 7 120.000 0 0 0.010 0 120.000 0)。

(5)求解方程组。用高斯消去法得：

=(0.004 3 0.510 6 1.006 4 0.009 5 0.511 9 1.012 7 0.003 9 0.460 1 1.005 9)。

　　上文通过有限元法得到了满足齐次诺曼条件泊松方程算例的数值解。算例的(1)～(4)步都是通过Matlab程序计算得到的。在处理大量数据的过程中,避免了变量、矩阵的事先定义.Matlab可以自动获取计算所需要的存储空间,并且它计算的速度非常快,所得结果也是令人十分满意的,基本接近解析解.和其它高级程序设计语言相比起来,Matlab程序语言的规则更为接近数学表示.特别是在工程领域中,Matlab是重要的软件工具,有限元则是重要的分析方法.本文中算例分析的全过程即体现了Matlab与有限元结合解偏微分方程的优点。

　　结 论

　　本文主要对泊松方程的数值求解的三种解法做了一个简单的介绍，分别为：有限元法、有限差分法、有限体积法。并对一维和二维泊松方程的求解过程进行了详细的解说。同时，本文还给出了如何运用MATLAB程序解出有限元法的泊松方程数值解的案例。泊松方程在数学和物理领域有很多的运用，非常方便快速的解决了许多矩阵难题。尤其突出在：静电学、机械工程和流体动力学领域。另外。另外，作为许多物理问题中的模型方程，泊松方程已经被广泛运用于等离子物理、等离子体工程。所以许多数学家一直在找寻泊松方程数值求解更好更精确更快的方法，希望在大家的不懈努力之下能有更多的好方法被开发出来并给广大科学领域带来方便。